Luca Eliseo Pavesi

Ogni D_{ρμν} si scrive in modo unico come parte assiale, tre vettori di traccia e un resto privo di tracce e di parte totalmente antisimmetrica. Il conteggio delle componenti è 64 = 4 + 12 + 48. La matrice che lega le tracce (A,B,C) ai vettori (P,Q,R) è M = 3·1 + J, con autovalori 6, 3, 3, quindi invertibile. Controllato numericamente su una metrica lorentziana generica (residui ≤ 10⁻¹³).

Con t_ν = T^σ_{σν}, N_μ = Q_{μν}^ν e N̄_ρ = Q^μ_{μρ}: A = t + N/2, B = N/2, C = −t + N̄ − N/2. Il vettore assiale a^σ = (1/12) ε^{σρμν} T_{ρμν} è una quantità di pura torsione.

Una forma quadratica F[D] a coefficienti costanti è invariante sotto g → Ω²(x) g (con Γ fisso) solo se F = 0. Già per Ω costante, la densità √−g F scala come Ω^{+2}: il peso omogeneo non può essere compensato da costanti. La dimostrazione non dipende dalla forma dello shift inomogeneo. L'ostruzione sparisce se le costanti sono sostituite da β_i φ², con il dilatone φ di peso −1.

La variazione di ∫√−g Σ α_i I_i ha una parte algebrica (2ω Σ α_i I_i) e una proporzionale a ∂ω. I coefficienti della seconda sono verificati per differenziazione a passo complesso (residuo ≤ 2×10⁻¹⁵). Variare un solo fattore di I₂ darebbe un coefficiente sbagliato e il controllo lo mostra.

Una forma quadratica è invariante sotto lo shift D → D − I[v] per ogni v se e solo se N_F (1,1,−1)ᵀ = 0. Le forme pari invarianti per shift formano un sottospazio di dimensione 8 dello spazio a 11 dimensioni. In span(I₁,I₂,I₃) è la retta generata da I⋆ = 2I₂ + I₃; con I₅ si aggiunge I₁ − I₅. Per questi, √−g φ² I⋆ e √−g φ²(I₁ − I₅) sono esattamente invarianti di Weyl, senza vettore di Weyl.

Il no-go impone un compensatore di peso −2 (qui φ²). Non impone il vettore di Weyl V_μ: le forme invarianti per shift non ne hanno bisogno. La costruzione gauged con tre coefficienti liberi β_i è una scelta che permette più operatori, non una necessità.

L'azione a due derivate costruita con gli invarianti Weyl-covarianti I_i[D̃] ha i coefficienti β_i liberi: non sono fissati dalla simmetria di Weyl, quindi QDG si presenta come teoria di campo efficace. In gauge unitario φ = φ₀ si riduce a gravità di Einstein più due campi vettoriali massivi (V_μ e il vettore assiale ã_μ) con un settore ausiliario algebrico.

Attorno allo spazio piatto con φ = φ₀ il settore bosonico quadratico propaga 2 (gravitone) + 3 (V_μ) + 3 (ã_μ) = 8 gradi di libertà, con 8 vincoli di prima classe. Con la fluttuazione del dilatone il conteggio è ancora 8, con 10 vincoli. Nei punti degeneri cambia: β₁ + β₂ = 0 dà 7. Il conteggio è lineare: non è un enunciato non perturbativo.

Un termine di Weyl al quadrato è generato a un loop. Di conseguenza non si afferma l'assenza di ghost: la versione precedente lo affermava, e l'affermazione è ritirata. L'unitarietà è controllata solo a livello albero.

Le trasformazioni BRST di Weyl ⋊ Diff sono nilpotenti e l'azione BV soddisfa l'equazione master classica. Le cociclicità di Weyl sono stabilite. È un enunciato classico.

I coefficienti di anomalia della simmetria di Weyl gauged non sono noti. Il gravitone non ha una coppia (c, a). Per il contenuto di materia con n_f = 3 Dirac e due Proca si ha (c, a) = (11/30, 53/120): ogni Dirac dà (6/120, 11/360) e ogni Proca dà un vettore più uno scalare di Stueckelberg.

Le 60 componenti non assiali della distorsione Weyl-covariante sono ausiliarie con propagatore costante: formano un blocco gaussiano ultralocale che non contribuisce a nessun coefficiente dipendente dalla curvatura. Il vettore assiale è un campo di Proca e contribuisce.

Per un regolatore che non rispetta la BRST si ricava l'identità modificata con un termine esplicito 𝒦_k, e si mostra che il flusso di Wetterich la preserva. La «terza equazione» per ∂_t𝒦_k è una condizione di integrabilità e una diagnostica delle troncazioni, non una legge dinamica indipendente.

Il funzionale di risposta 𝒯_I = ∂Γ_k/∂𝒥 è la funzione a un punto di 𝒪_I nella teoria regolata a campo medio fissato e obbedisce a un'equazione chiusa, lineare, del second'ordine, il cui unico input oltre il propagatore è l'Hessiano di 𝒯_I stesso. Verificata in un modello a due variabili con integrale regolato esattamente risolubile.

In senso naïve la risposta è negativa: un regolatore quadratico indipendente dai campi non è BRST-invariante e nel modello l'identità di Ward è violata da un termine esplicito non nullo. Se per la troncazione completa di QDG il termine sia controllabile resta un problema aperto: l'input a tre punti non è stato calcolato.

Dall'equazione di Wetterich (cutoff ottimizzato, gauge armonico α = 1, split lineare, S⁴) con materia minimale caratterizzata da due interi (X, Y) si ottengono la dimensione anomala η e le funzioni beta. Con u = 1 − 2λ il punto fisso si riduce a una cubica in u. Tutto vale nella troncazione; il settore di Weyl gauged non è nel flusso.

I punti fissi non gaussiani soddisfano una cubica in u = 1 − 2λ con c = 14 − X. Per ogni radice con u > 0, N > 0 e 1 − g B₂ > 0 si ha g* = 2π/N e λ* = (1 − u)/2. Il codice è in appendice al paper e riprodotto qui in JavaScript con 20 controlli numerici.

Per X = Y = 0 il punto fisso è a G* = 0.7073, λ* = 0.1932 con una coppia complessa di esponenti θ = 1.475 ± 3.043 i.

Con 3 fermioni di Dirac e due Proca nel limite privo di massa: G* = 2.73, λ* = −0.318, esponenti reali positivi (2.21, 0.72). Esiste per tutti e nove i regolatori provati ma si muove molto con il regolatore e con la convenzione di cutoff della materia. Per il cutoff ottimizzato è fuori dall'intervallo G* < 2, λ* > −1 in cui la troncazione è di norma considerata affidabile.

Con n_f Dirac e due Proca il punto fisso esiste per ogni n_f < 10 (11 con due vettori privi di massa). Il bordo corrisponde a X < 14. Avvicinandosi al bordo i punti fissi vanno via a infinito: g*(10 − n_f) → 52π/7. λ* cambia segno a n_f = 17/6; gli esponenti diventano reali a n_f ≈ 2.8734.

Nessun settore nascosto è necessario perché esista il punto fisso. Vettori privi di massa (e, per materia di tipo QDG, anche scalari) lo riportano verso quello della gravità pura: per n_f = 3 ne basta uno; ne servono sette per il Modello Standard con il cutoff ottimizzato. Fermioni di Dirac nascosti lo allontanano e, nella direzione ricca di fermioni, lo distruggono per fuga. Con un cutoff per la materia funzione solo di −D̄² i coefficienti cambiano e la fuga fermionica non compare nei casi provati.

Il numero n_f ≤ 4.896577961599 viene da un polinomio di grado 7 (otto coefficienti riprodotti in aritmetica esatta, valore critico a 10⁻¹³). Esce dal punto singolare (G, λ) = (1, 1 − √6/2) del flusso, dove numeratore e denominatore di η si annullano insieme. È un limite su un solo coefficiente del modello, Y ≥ −13.586. Nel flusso EH derivato il limite corrispondente è sull'altro coefficiente, X < 14.

Nove regolatori collocano la fine del ramo tra 9.4 e 10.8. Con un cutoff per la materia funzione solo di −D̄² il limite scompare (nessuna fine fino a n_f = 10⁴). I due flussi danno numeri diversi, 4.8966 e 10, per lo stesso contenuto, ed entrambi sono condizionati alla troncazione, alla convenzione di cutoff e al conteggio dei due vettori.

Regolatore esponenziale R⁽⁰⁾(y) = s y/(e^{sy} − 1). In gravità pura il punto fisso (tre direzioni rilevanti, coppia complessa) c'è per ogni s in [1, 2.5]. Con N_S = 4, N_D = 22.5, N_V = 12 c'è un punto fisso con tre esponenti reali positivi per s > s_fold = 1.07210; a s_fold scompare in una biforcazione sella-nodo e l'esponente maggiore è dell'ordine di 4×10³ perché le dimensioni anomale sono vicine a un polo. Per N_D = 27 non c'è piega ma una fuga per s > 1.083.

Il fermione si accoppia a metrica, dilatone (Yukawa) e vettore assiale ã_μ, ma non al vettore di Weyl V_μ: il termine cinetico di Dirac è già invariante di Weyl e un accoppiamento a V_μ sarebbe anti-hermitiano. I coefficienti di Seeley–DeWitt a₂ e a₄ non contengono V_μ, quindi l'azione spettrale fermionica non genera né termine cinetico né di massa per il vettore di Weyl.

Se la scala di cutoff è sostituita dal dilatone, l'operatore di Dirac è Weyl-covariante a meno di una similitudine, e Tr f(𝒟_φ²/κ₀²) è esattamente invariante di Weyl. Coincide con l'azione spettrale ordinaria della metrica in gauge unitario ĝ = (φ/φ₀)² g e dipende da V_μ solo attraverso il suo valore di puro gauge.

Per un cutoff fermionico di tipo Litim il blocco fermionico del flusso equivale a meno Tr θ(k² − 𝒟²). Con i coefficienti del nucleo del calore riproduce i contributi di Dirac (X, Y) = (2, −4) al flusso EH, e analogamente per scalari e vettori. Test di controllo: coppia di anomalia conforme di Dirac (c, a) = (6/120, 11/360).

Non è stabilita un'origine spettrale del settore del vettore di Weyl, del blocco del gravitone né di tutto l'insieme.

Per la teoria scalare-tensore (1/12) φ² R − ½ (∂φ)² − V(φ), la regola «la teoria è singolare se e solo se V(0) = 0» fallisce in entrambe le direzioni. Il problema cosmologico si riduce esattamente a un campo canonico nel frame di Einstein, χ = √12 M ln φ, con potenziale Ṽ = 36 M⁴ V/φ⁴: φ → 0 corrisponde a χ → −∞. Conta il segno di w′(φ), con w = V/φ⁴.

Per V > 0: φ = 0 è inaccessibile se w′ ≤ 0 vicino all'origine; se w′ > 0 è raggiunto monotonicamente, solo per t → ∞ (tipo II), da un insieme aperto esplicito di dati iniziali (dimostrato). Per V < 0: collassi in tempo finito (tipo I) con legge analitica φ ∝ (t_s − t)^{1/(3√2 − 1)} (numerico). Riduzione verificata contro l'integrazione diretta del frame di Jordan a 2×10⁻¹².

In QDG il dilatone è puro gauge, quindi l'accessibilità di φ = 0 è un enunciato su una trasformazione di gauge singolare. L'unico potenziale invariante di Weyl, V = λ φ⁴, è regolare. Il settore di Weyl oltre il dilatone non è analizzato.

Non si afferma che QDG sia asintoticamente sicura. I flussi calcolati sono flussi di Einstein–Hilbert (e R²) con materia minimale; il settore di Weyl gauged e il settore di distorsione non vi sono inclusi.

Non si afferma l'assenza di ghost: un termine C² è generato a un loop.

Non si afferma che il Modello Standard accoppiato alla gravità sia asintoticamente sicuro.

I coefficienti β_i del settore di distorsione non sono fissati dalla simmetria. QDG è una proposta con struttura di teoria di campo efficace: i β_i sono coefficienti di Wilson da fissare per matching o per misura.